PHP算法：斐波那契数列的5种算法

       前段时间，遇到优化计算斐波那契数列的常规递归方法，但是一时间并没有及时想到很好的方法，所以后面查找了相关资料，总结了多种计算解法，所以分享出来，沈阳网站建设和大家一起交流学习。

       斐波那契数是什么

       斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）。知道了斐波那契数，那么下面我们就用多种不同的方法来计算获取第N位斐波那契数。

       1.普通递归

       这种方法是最常规的，直接根据定义F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)递归计算即可，但是性能是最低的。/** * 普通递归 * @param int $n * @return int */function fib($n = 1){ // 低位处理 if ($n < 3) { return 1; } // 递归计算前两位 return fib($n - 1) + fib($n - 2);}

       2.递归优化

       从上面的递归方法可以看到，进行了很多的重复计算，性能极差，如果N越大，计算的次数太可怕了，那么，既然因为重复计算影响了性能，那么优化就从减少重复计算入手，即把之前计算的存储起来，这样就避免了过多的重复计算，优化了递归算法。/** * 递归优化 * @param int $n * @param int $a * @param int $b * @return int */function fib_2($n = 1, $a = 1, $b = 1){ if ($n > 2) { // 存储前一位，优化递归计算 return fib_2($n - 1, $a + $b, $a); } return $a;}

       3.记忆化自底向上

       自底向上通过迭代计算斐波那契数的子问题并存储已计算的值，通过已计算的值进行计算。使用for循环，减少递归带来的重复计算问题。/** * 记忆化自底向上 * @param int $n * @return int */function fib_3($n = 1){ $list = []; for ($i = 0; $i <= $n; $i++) { // 从低到高位数，依次存入数组中 if ($i < 2) { $list[] = $i; } else { $list[] = $list[$i - 1] + $list[$i - 2]; } } // 返回最后一个数，即第N个数 return $list[$n];}

       4.自底向上进行迭代

       最低位初始化赋值，使用for从低位到高位迭代计算，从而得到第N个数。/** * 自底向上进行迭代 * @param int $n * @return int */function fib_4($n = 1){ // 低位处理 if ($n <= 0) { return 0; } if ($n < 3) { return 1; } $a = 0; $b = 1; // 循环计算 for ($i = 2; $i < $n; $i++) { $b = $a + $b; $a = $b - $a; } return $b;}

       5.公式法

       通过了解斐波那契序列和黄金分割比之间的关系，使用黄金分割率计算第N个斐波那契数。/** * 公式法 * @param int $n * @return int */function fib_5($n = 1){ // 黄金分割比 $radio = (1 + sqrt(5)) / 2; // 斐波那契序列和黄金分割比之间的关系计算 $num = intval(round(pow($radio, $n) / sqrt(5))); return $num;}